直線的位置關系教案

直線的位置關系教案

　　作為一無名無私奉獻的教育工作者，很有必要精心設計一份教案，借助教案可以提高教學質量，收到預期的教學效果。我們該怎么去寫教案呢？下面是小編為大家收集的直線的位置關系教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。

直線的位置關系教案1

　　公開課教案

　　授課時間： 20xx.11.17早上第二節 授課班級：初三、1班 授課教師：

　　教學內容： 7.7 直線和圓的位置關系

　　教學目標：

　　過程與方法目標：

　　1．通過直線和圓的位置關系的探究，向學生滲透分類、數形結合的思想，培養學生觀察、分析、概括、知識遷移的能力；

　　2. 通過例題教學，培養學生靈活運用知識的解決能力。

　　情感與態度目標：讓學生從運動的觀點來觀察直線和圓相交、相切、相離的關系、關注知識的生成，發展與變化的過程,主動探索，勇于發現。從而領悟世界上的一切物體都是運動變化著的，并且在一定的條件下可以轉化的辯證唯物主義觀點。

　　教學重點：直線和圓的位置關系的判定方法和性質

　　教學難點：直線和圓的三種位置關系的研究及運用

　　教學程序設計：

　　利用多媒體放映落日的動畫，初中數學教案《數學教案－直線和圓的位置關系（公開課）》。引導學生從公共點個數和圓心到直線的距離兩方面體會直線和圓的不同位置關系。

　　學生看投影并思考問題

　　調動學生積極主動參與數學活動中．

　　探究新知

　　今天我們學習7.7直線和圓的位置關系。

　　1、通過觀察直線和圓的公共點個數得出直線和圓相離、相交、相切的定義。

　　2、觀察圓心到直線的距離d與r的大小變化，類比點和圓的位置關系由圓半徑和點與圓心的距離的`數量關系來判定，總結得出直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離與圓半徑之間的數量關系來判定。得到直線和圓的位置關系的判定方法和性質。6 厘米，⊙O的半徑為r厘米，當圓心O從點A出發，沿著線路AB一BC一CA運動，回到點A時，⊙O隨著點O的運動而移動．在⊙O移動過程中，從切點的個數來考慮，相切有幾種不同的情況？寫出不同情況下，r的取值范圍及相應的切點個數

　　布置作業

　　1、課本第101頁7.3 A組第2、3題

　　2、課余時間，留心觀察周圍事物，找出直線和圓相交，相切，相離的實例，說給大家聽。

直線的位置關系教案2

　　1.知識結構

　　2.重點、難點分析

　　重點：的性質和判定.因為它是本單元的基礎(如：切線的判斷和性質定理是在它的基礎上研究的)，也是高中解析幾何中研究的基礎.

　　難點：在對性質和判定的研究中，既要有歸納概括能力，又要有轉換思想和能力，所以是本節的難點;另外對相切要分清直線與圓有唯一公共點是指有一個并且只有一個公共點，與有一個公共點含義不同(這一點到直線和曲線相切時很重要)，學生較難理解.

　　3.教法建議

　　本節內容需要一個課時.

　　(1)教師通過電腦演示，組織學生自主觀察、分析，并引導學生把點和圓的位置關系研究的方法遷移過來，指導學生歸納、概括;

　　(2)在教學中，以形歸納數， 以數判斷形為主線，開展在教師組織下，以學生為主體，活動式教學.

　　教學目標 ：

　　1、使學生理解直線和圓的三種位置關系，掌握其判定方法和性質;

　　2、通過的探究，向學生滲透分類、數形結合的思想，培養學生

　　觀察、分析和概括的能力;

　　3、使學生從運動的觀點來觀察直線和圓相交、相切、相離的關系、培養學生的辯證唯物主義觀點.

　　教學重點：的判定方法和性質.

　　教學難點 ：直線和圓的三種位置關系的研究及運用.

　　教學設計：

　　(一)基本概念

　　1、觀察：(組織學生，使學生從感性認識到理性認識)

　　2、歸納：(引導學生完成)

　　(1)直線與圓有兩個公共點;(2)直線和圓有唯一公共點(3)直線和圓沒有公共點

　　3、概念：(指導學生完成)

　　由直線與圓的公共點的個數，得出以下直線和圓的三種位置關系：

　　(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交.這時直線叫做圓的割線.

　　(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切.這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點.

　　(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離.

　　研究與理解：

　　①直線與圓有唯一公共點的含義是有且僅有，這與直線與圓有一個公共點的含義不同.

　　②直線和圓除了上，請保留此標記。)述三種位置關系外，有第四種關系嗎?即一條直線和圓的公共點能否多于兩個?為什么?

　　(二)直線與圓的位置關系的數量特征

　　1、遷移：點與圓的.位置關系

　　(1)點P在⊙O內 d

　　(2)點P在⊙O上 d=r;

　　(3)點P在⊙O外 dr.

　　2、歸納概括：

　　如果⊙O的半徑為r ，圓心O到直線l的距離為d，那么

　　(1)直線l和⊙O相交 d

　　(2)直線l和⊙O相切 d=r;

　　(3)直線l和⊙O相離 dr.

　　(三)應用

　　例1、在Rt△ABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有何種位置關系?為什么?

　　(1)r=2cm; (2)r=2.4cm; (3)r=3cm.

　　學生自主完成，老師指導學生規范解題過程.

　　解：(圖形略)過C點作CDAB于D，

　　在Rt△ABC中，C=90，

　　AB=，

　　∵ ，ABCD=ACBC，

　　(cm)，

　　(1)當r =2cm時 CDr，圓C與AB相離;

　　(2)當r=2.4cm時，CD=r，圓C與AB相切;

　　(3)當r=3cm時，CD

　　練習P105，1、2.

　　(四)小結：

　　1、知識：(指導學生歸納)

　　2、能力：觀察、歸納、概括能力，知識遷移能力，知識應用能力.

　　(五)作業 ：教材P115，1(1)、2、3.

　　探究活動

　　問題：如圖，正三角形ABC的邊長為6 厘米，⊙O的半徑為r厘米，當圓心O從點A出發，沿著線路AB一BC一CA運動，回到點A時，⊙O隨著點O的運動而移動.在⊙O移動過程中，從切點的個數來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同情況下，r的取值范圍及相應的切點個數.

　　略解：由正三角形的邊長為6 厘米，可得它一邊上的高為9厘米.

　　①當⊙O的半徑r=9厘米時，⊙O在移動中與△ABC的邊共相切三次，即切點個數為3.

　　②當0

　　后略

直線的位置關系教案3

　　一、教學目標：

　　1、知識與技能

　　（1）了解空間中兩條直線的位置關系；

　　（2）理解異面直線的概念、畫法，培養學生的空間想象能力；

　　（3）理解并掌握公理4；

　　（4）理解并掌握等角定理；

　　（5）異面直線所成角的定義、范圍及應用。

　　2、過程與方法

　　（1）師生的共同討論與講授法相結合；

　　（2）讓學生在學習過程不斷歸納整理所學知識。

　　3、情感與價值

　　讓學生感受到掌握空間兩直線關系的必要性，提高學生的學習興趣。

　　二、教學重點、難點

　　重點：1、異面直線的概念；

　　2、公理4及等角定理。

　　難點：異面直線所成角的計算。

　　三、學法與教學用具

　　1、學法：學生通過閱讀教材、思考與教師交流、概括，從而較好地完成本節課的教學目標。

　　2、教學用具：投影儀、投影片、長方體模型、三角板

　　四、教學思想

　　（一）創設情景、導入課題

　　1、通過身邊諸多實物，引導學生思考、舉例和相互交流得出異面直線的概念：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。

　　2、師：那么，空間兩條直線有多少種位置關系？（板書課題）

　　（二）講授新課

　　1、教師給出長方體模型，引導學生得出空間的兩條直線有如下三種關系：

　　相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；

　　平行直線：同一平面內，沒有公共點；

　　異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。

　　教師再次強調異面直線不共面的特點，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如下圖：

　　2、（1）師：在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規律？

　　組織學生思考：

　　長方體ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'與DD'平行嗎？

　　生：平行

　　再聯系其他相應實例歸納出公理4

　　公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

　　符號表示為：設a、b、c是三條直線

　　a∥b

　　c∥b

　　強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。

　　公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

　　例1、空間四邊形ABCD，E 、F、H、G分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形

　　3讓學生觀察、思考右圖：

　　∠ADC與A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？

　　生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800

　　教師畫出更具一般性的圖形，師生共同歸納出如下定理

　　等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

　　教師強調：并非所有關于平面圖形的結論都可以推廣到空間中來。

　　4、以教師講授為主，師生共同交流，導出異面直線所成的角的概念。

　　（1）師：如圖，已知異面直線a、b，經過空間中任一點O作直線a'∥a、b'∥b，我們把a'與b'所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。

　　（2）強調：

　　① a'與b'所成的角的大小只由a、b的'相互位置來確定，與O的選擇無關，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；

　　②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；

　　③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；

　　④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

　　⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

　　（3）例2（教材P47頁例3）

　　（三）課堂練習

　　練習1、2

　　（四）課堂小結在師生互動中讓學生了解：

　　（1）本節課學習了哪些知識內容？

　　（2）計算異面直線所成的角應注意什么？

　　（五）課后作業

　　1、判斷題：

　　（1）a∥b c⊥a => c⊥b （）

　　（2）a⊥c b⊥c => a⊥b （）

　　2、填空題：在正方體ABCD-A'B'C'D'中，與BD'成異面直線的有________條。

　　課后記：

直線的位置關系教案4

　　教學目標：

　　1.在作圖、分類、辨析的活動中，了解兩條直線的位置關系，理解在同一平面內兩條直線的特殊的位置關系-----平行、垂直。

　　2.在辨析與理解知識的過程中，初步建立平行與垂直的空間觀念，培養學生的空間想象能力。

　　3.在合作與探究的過程中，培養學生的主動探究與自主學習的意識。

　　教學重點：

　　在作圖、分類、辨析的活動中，理解兩條直線的兩種特殊位置關系。

　　教學難點：

　　在合作、探究、辨析的過程中理解垂直和平行的意義。

　　教學準備：

　　課件、題紙、三角板、小棒、記號筆

　　教學過程：

　　一、借助回顧舊知，引出新知。

　　（一）對一條線的相關知識的回顧。

　　1.課件出示，回顧舊知。

　　（1）出示（線段）。

　　監控問題：這是（線段）。誰還記得它有什么特點？

　　（生：線段有兩個端點，可以測量）

　　（2）將線段的一端延長，成為射線。

　　監控問題：現在呢？（射線），它有什么特點？

　　（生：射線可以向一端無限延長，不能測量）

　　課件操作：將射線還原成線段，再延長線段的另一端。

　　監控問題：：它也是（射線）

　　（3）將射線還原成線段，同時延長線段的兩端，成為直線。

　　監控問題：這是（直線）它的特點是什么來著？（直線沒有端點，不可以測量。）

　　2.歸納：在這幅圖上，你都能找到哪些我們學過的線？來給大家說一說，指一指。

　　看來，線段和射線都是直線的一部分。

　　（二）揭示課題：剛才，我們一起回憶了有關一條直線的知識。如果在這個屏幕上畫兩條直線，會是怎樣的位置關系呢？這就是咱們今天研究的內容。（板書課題：兩條直線的位置關系）

　　【設計意圖：通過與學生的談話，將舊知進行了復習，從而很自然地引出新知。】

　　二、借助分類、學生辨析，了解兩條直線的位置關系。

　　（一）自主探究兩條直線的位置關系

　　1. 請大家想像一下兩條直線會是怎樣的位置關系呢，畫在紙上，也可以借助手中的小棒，先擺一擺，再畫下來。每張紙上只畫出一種，畫大點讓大家都看得見。你能想出幾種就擺幾種，就畫幾種。開始！

　　2.學生動手操作，教師巡視，搜集資源。

　　監控：（1）這是同學們的想法，看看，你還有什么補充嗎？為了研究方便，我們把這種情況標上序號。（標號）

　　（2）我們一起來看看，既然都是直線，又知道直線是可以向兩端無限延長的，咱們給這些直線延長延長，看看會有什么現象出現呢？（學生來延長）（換一種顏色，讓學生延長）

　　（二）集體研討，辨析兩條直線的位置關系

　　1.引導學生分類，辨析。

　　監控問題：這么多種情況，我們怎么研究呢？（先分類）

　　請大家兩人一組，根據兩條直線的位置關系給它們分分類。可以把序號寫在題紙的背面，一會兒咱們一起來討論，開始！

　　2.集體研討。

　　①相交與不相交

　　②引導學生分類，建立相交、不相交的概念，并板書。

　　（板書： 不相交 相交）

　　2.借助辨析，建立相關概念。

　　（1）建立平行的概念。

　　監控問題：

　　①師：我們先來看兩條直線的這種位置關系，有人知道這樣的兩條直線叫什么嗎？在生活中你見過嗎？在哪兒見過？-----不相交

　　②數學中這兩條直線的位置關系是平行，誰能用自己的話說一說什么是平行？

　　③我們一起來看看書上是怎么說的？（課件出示平行線的概念）

　　提問：跟我們說的意思差不多吧？剛才咱們說的和書中的有什么不一樣的嗎？（同一平面），這兩條直線是在同一平面嗎？為什么？（都在這張紙上）這兩條直線呢？（黑板上畫出一組），能再說說什么是平行嗎？

　　④建立平行線的表示方法。“∥” a與b平行，可以記作：a∥b，讀作a平行于b或b平行于a

　　（2）建立垂直的概念。

　　監控問題：

　　①這種情況我們稱它為不相交，也就是平行，那你們說這種情況呢？對，相交。

　　提問：在這種相交的情況下，哪個最特殊？特殊在哪兒？

　　②建立垂直的概念。

　　A． 誰來用自己的.話說一說什么是垂直？

　　B． 看書上的敘述。

　　C． 學習垂直的表示方法。

　　③建立相交不垂直的概念

　　那這種呢？相交了，但不垂直，形成了兩組對頂角，每組的對頂角是相等的。追問：那垂直呢？相交之后也形成了兩組對頂角，它特殊在每組的對頂角都是相等的，都是90°其實只要是相交就會形成對頂角，這些知識我們到了中學還會繼續學習。

　　④欣賞生活中的平行與垂直。（ppt）

　　其實，在我們的生活中有許多平行與垂直呢，我們一起來看看。（數學作業和課本中也能找到平行和垂直呢？）

　　⑤重合的處理：

　　預設：A.如果學生畫圖的時候出現了“重合”

　　監控問題：這個同學畫出的一個平面內兩條直線的位置關系和剛才我們研究的都不一樣，你知道這是什么嗎？（請畫出圖的同學介紹）課件演示：重合的過程 （兩條直線有無數個交點）

　　B.如何學生沒有在畫圖中出現，教師給圖理解“重合”。

　　（3）小結：看來，在一個平面內，兩條直線的位置關系除了相交和不相交，還會有重合。對于重合的兩條直線，我們到了中學之后還會對這樣的直線作進一步的研究。

　　【設計意圖：通過學生自主探究、集體辨析，得到了一個平面內的兩條直線的位置關系，并進行了分類研究，在這個過程中，充分發揮了學生的主動性和積極性，真正成為學習的主人。】

　　三、在不同的練習中鞏固新知。

　　1、出示平面圖形和組合圖形。

　　過渡語：剛才我們了解了同一平面內，兩條直線的位置關系，也在生活中看到了平行與垂直的例子，那如果是一個平面圖形的呢？你還能找到平行或者是垂直嗎?來，我們一起來試一試！要求：指出下面圖形中的一組垂直與平行。（學生邊指邊說）

　　（1）平面圖形中的平行與垂直。

　　追問：第五個，有互相垂直的兩條邊嗎？

　　過渡語：你們真了不起！也能在平面圖形中找到我們今天所學的知識，那如果是一個組合圖形呢？還行嗎？來，我們一起來看一看！

　　（2）在組合圖形中尋找平行與垂直。

　　看來，要想驗證是不是垂直，三角板幫了我們大忙，真是數學學習的好幫手。

　　2.深入研究平行與垂直的傳遞性。

　　（1） 擺一擺，把兩根小棒都擺成和第三根小棒平行，看一看這兩根小棒互相平行嗎？

　　（2）把兩根小棒都擺成和第三根小棒垂直。看一看這兩根小棒有什么關系？

　　過渡語：我們看了，也找了，那如果讓你們動手擺一擺呢？行嗎？來，小組合作，請你按照要求動手擺一擺，互相說一說，看看你能有什么發現？開始！

　　監控：①哪組把你們擺的拿上來給我們大家來欣賞一下！再說說你們發現了什么？

　　②還有一個呢？先想象一下，猜猜看！然后再動手擺一擺進行驗證！

　　③來給我們大家說一說吧！你們先猜的是什么？擺完之后呢？跟你們大家的想法一樣嗎？

　　小結：看來，數學知識有的時候不能單憑猜測，需要我們進行驗證，才能知道答案是否正確！

　　四、結合板書，總結全課。

　　師：這節課我們一起研究了兩條直線的位置關系，以后我們還會應用這些知識學習更多的知識。

　　五、板書設計：

　　兩條直線的位置關系

　　同一平面內

　　不相交 相交 重合

　　平行“∥” （對頂角）

　　垂直 不垂直

直線的位置關系教案5

　　【課時目標】

　　1．會判斷空間兩直線的位置關系．

　　2．理解兩異面直線的定義及判定定理，會求兩異面直線所成的角．

　　3．能用公理4及等角定理解決一些簡單的相關證明．

　　1．空間兩條直線的位置關系有且只有三種：________、____________、____________．

　　2．公理4：平行于同一條直線的兩條直線____________．

　　3．等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角________．

　　4．異面直線

　　(1)定義：________________________的兩條直線叫做異面直線．

　　(2)判定定理：過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是______________．

　　5．異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經過空間任一點O，作直線a′，b′，使__________，__________，我們把a′與b′所成的________________叫做異面直線a與b所成的角．

　　如果兩條直線所成的角是________，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直，兩條異面直線所成的角α的取值范圍是____________．

　　練習：

　　一、填空題

　　1．若空間兩條直線a，b沒有公共點，則其位置關系是____________．

　　2．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是______________．

　　3．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，與對角線AC1異面的棱共有________條．

　　4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連結四邊中點的四邊形的形狀是________．

　　5．給出下列四個命題：

　　①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

　　②平行于同一直線的兩直線平行；

　　③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c；

　　④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線．

　　其中假命題的個數是________．

　　6．有下列命題：

　　①兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；

　　②四條邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形；

　　③經過直線外一點有無數條直線和已知直線垂直；

　　④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，則OB∥O1B1．

　　其中正確命題的序號為________．

　　7．空間兩個角α、β，且α與β的兩邊對應平行且α＝60°，則β為________．

　　8．已知正方體ABCD—A′B′C′D′中：

　　(1)BC′與CD′所成的角為________；

　　(2)AD與BC′所成的角為________．

　　9．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：

　　①AB⊥EF；

　　②AB與CM所成的角為60°；

　　③EF與MN是異面直線；

　　④MN∥CD．

　　以上結論中正確結論的序號為________．

　　二、解答題

　　10．已知棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點．

　　求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；

　　(2)∠DNM＝∠D1A1C1．

　　11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC、AD的中點，求EF與AB所成角的大小．

　　能力提升

　　12．如圖所示，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填序號)．

　　13．如圖所示，在正方體AC1中，E、F分別是面A1B1C1D1和AA1D1D的中心，則EF和CD所成的角是______．

　　1．判定兩直線的位置關系的依據就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．另外，我們解決空間有關線線問題時，不要忘了我們生活中的模型，比如說教室就是一個長方體模型，里面的線線關系非常豐富，我們要好好地利用它，它是我們培養空間想象能力的好工具．

　　2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調的是，兩條異面直線所成角α的范圍為0°<α≤90°，解題時經常結合這一點去求異面直線所成的角的大小．

　　作異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．

　　空間兩條直線的位置關系 答案

　　知識梳理

　　1．相交直線 平行直線 異面直線

　　2．互相平行 3．相等

　　4．(1)不同在任何一個平面內 (2)異面直線

　　5．a′∥a b′∥b 銳角(或直角) 直角 0°<α≤90°

　　作業設計

　　1．平行或異面

　　2．相交、平行或異面

　　解析 異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a、b異面，直線c的位置可如圖所示．

　　3．6

　　4．矩形

　　解析

　　易證四邊形EFGH為平行四邊形．

　　又∵E，F分別為AB，BC的中點，∴EF∥AC，

　　又FG∥BD，

　　∴∠EFG或其補角為AC與BD所成的角．

　　而AC與BD所成的角為90°，

　　∴∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．

　　5．2

　　解析 ①④均為假命題．①可舉反例，如a、b、c三線兩兩垂直．

　　④如圖甲時，c、d與異面直線l1、l2交于四個點，此時c、d異面，一定不會平行；

　　當點A在直線a上運動(其余三點不動)，會出現點A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c、d共面相交．

　　6．③

　　7．60°或120°

　　8．(1)60° (2)45°

　　解析

　　連結BA′，則BA′∥CD′，連結A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．

　　由△A′BC′為正三角形，

　　知∠A′BC′＝60°，

　　由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC．

　　易知∠C′BC＝45°．

　　9．①③

　　解析

　　把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．

　　10．

　　證明 (1)如圖，連結AC，

　　在△ACD中，

　　∵M、N分別是CD、AD的中點，

　　∴MN是三角形的中位線，

　　∴MN∥AC，MN＝12AC．

　　由正方體的性質得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．

　　∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，

　　∴四邊形MNA1C1是梯形．

　　(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因為ND∥A1D1，

　　∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．

　　而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，

　　∴∠DNM＝∠D1A1C1．

　　11．解 取AC的中點G，

　　連結EG、FG，

　　則EG∥AB，GF∥CD，

　　且由AB＝CD知EG＝FG，

　　∴∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角．

　　∵AB與CD所成的角為30°，

　　∴∠EGF＝30°或150°．

　　由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；

　　當∠EGF＝150°時，

　　∠GEF＝15°．

　　故EF與AB所成的.角為15°或75°．

　　12．②④

　　解析 ①中HG∥MN．

　　③中GM∥HN且GM≠HN，

　　∴HG、MN必相交．

　　13．45°

　　解析 連結B1D1，則E為B1D1中點，

　　連結AB1，EF∥AB1，

　　又CD∥AB，∴∠B1AB為異面直線EF與CD所成的角，

　　即∠B1AB＝45°．

　　（2） ，設切點坐標為 ，則切線的斜率為2 ，且 ，于是切線方程為 ，因為點（－1，0）在切線上，可解得 ＝0或－4，代入可驗正D正確，選D。

　　點評：導數值對應函數在該點處的切線斜率。

　　例6．（1）半徑為r的圓的面積S(r)＝ r2,周長C(r)=2 r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則( r2)`＝2 r ○1，○1式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數。對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于○1的式子： ○2；○2式可以用語言敘述為： 。

　　（2）曲線 和 在它們交點處的兩條切線與 軸所圍成的三角形面積是 。

　　解析：（1）V球＝ ，又 故○2式可填 ，用語言敘述為“球的體積函數的導數等于球的表面積函數。”；

　　（2）曲線 和 在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與 軸所圍成的三角形的面積是 。

　　點評：導數的運算可以和幾何圖形的切線、面積聯系在一起，對于較復雜問題有很好的效果。

　　題型4：借助導數處理單調性、極值和最值

　　例7．（1）對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1） 0，則必有（ ）

　　A．f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1）

　　C．f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）

　　（2）函數 的定義域為開區間 ，導函數 在 內的圖象如圖所示，則函數 在開區間 內有極小值點（ ）

　　A．1個 B．2個 C．3個 D． 4個

　　（3）已知函數 。（Ⅰ）設 ，討論 的單調性；（Ⅱ）若對任意 恒有 ，求 的取值范圍。

　　解析：（1）依題意，當x1時，f（x）0，函數f（x）在（1，＋）上是增函數；當x1時，f（x）0，f（x）在（－，1）上是減函數，故f（x）當x＝1時取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故選C；

　　（2）函數 的定義域為開區間 ，導函數 在 內的圖象如圖所示，函數 在開區間 內有極小值的點即函數由減函數變為增函數的點，其導數值為由負到正的點，只有1個，選A。

　　（3）：(Ⅰ)f(x)的定義域為(－∞,1)∪(1,+∞).對f(x)求導數得 f '(x)= ax2+2－a(1－x)2 e－ax。

　　(?)當a=2時, f '(x)= 2x2(1－x)2 e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).為增函數；

　　(?)當00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)為增函數.；

　　(?)當a>2時, 0

　　當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

　　x(－∞, －a－2a)

　　(－a－2a,a－2a)(a－2a,1)(1,+∞)

　　f '(x)＋－＋＋

　　f(x)????

　　f(x)在(－∞, －a－2a), (a－2a,1), (1,+∞)為增函數, f(x)在(－a－2a,a－2a)為減函數。

　　(Ⅱ)(?)當0f(0)=1；

　　(?)當a>2時, 取x0= 12 a－2a∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)

　　(?)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有1+x1－x >1且e－ax≥1，

　　得：f(x)= 1+x1－xe－ax≥1+x1－x >1. 綜上當且僅當a∈(－∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

　　點評：注意求函數的單調性之前，一定要考慮函數的定義域。導函數的正負對應原函數增減。

　　例8．（1） 在區間 上的最大值是（ ）

　　(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4

　　（2）設函數f(x)= （Ⅰ）求f(x)的單調區間；（Ⅱ）討論f(x)的極值。

　　解析：（1） ，令 可得x＝0或2（2舍去），當－1x0時， 0，當0x1時， 0，所以當x＝0時，f（x）取得最大值為2。選C；

　　（2）由已知得 ，令 ，解得 。

　　（Ⅰ）當 時， ， 在 上單調遞增；

　　當 時， ， 隨 的變化情況如下表：

　　極大值

　　極小值

　　從上表可知，函數 在 上單調遞增；在 上單調遞減；在 上單調遞增。

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當 時，函數 沒有極值；當 時，函數 在 處取得極大值，在 處取得極小值 。

　　點評：本小題主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力。

　　題型5：導數綜合題

　　例9．設函數 分別在 處取得極小值、極大值. 平面上點 的坐標分別為 、 ，該平面上動點 滿足 ,點 是點 關于直線 的對稱點.求

　　(I)求點 的坐標；

　　(II)求動點 的軌跡方程.

　　解析： (Ⅰ)令 解得 ；

　　當 時, ， 當 時, ，當 時， 。

　　所以,函數在 處取得極小值,在 取得極大值,故 , 。

　　所以, 點A、B的坐標為 。

　　（Ⅱ） 設 ， ，

　　，所以 。

　　又PQ的中點在 上，所以 ，消去 得 。

　　點評：該題是導數與平面向量結合的綜合題。

　　例10．（06湖南卷）已知函數 ,數列{ }滿足: 證明:(?) ；(?) 。

　　證明: （I）．先用數學歸納法證明 ，ｎ＝1,2,3,…

　　(i).當n=1時,由已知顯然結論成立。

　　(ii).假設當n=k時結論成立,即 。

　　因為0

　　又f(x)在[0,1]上連續，從而 .故n=k+1時,結論成立。

　　由(i)、(ii)可知， 對一切正整數都成立。

　　又因為 時， ，所以 ，綜上所述 。

　　（II）．設函數 ， ，

　　由（I）知，當 時， ，

　　從而 所以g (x)在(0,1)上是增函數。

　　又g (x)在[0,1]上連續,且g (0)=0，所以當 時，g (x)>0成立。

　　于是 ．故 。

　　點評：該題是數列知識和導數結合到一塊。

　　題型6：導數實際應用題

　　例11．請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

　　本小題主要考查利用導數研究函數的最大值和最小值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力。

　　解析：設OO1為x m,則由題設可得正六棱錐底面邊長為 （單位：m）。

　　于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：

　　帳篷的體積為（單位：m3）：

　　求導數，得 ；

　　令 解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。

　　當1

　　所以當x=2時,V(x)最大。

　　答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。

　　點評：結合空間幾何體的體積求最值，理解導數的工具作用。

　　例12．已知函數f(x)=x + x ，數列｜x ｜(x ＞0)的第一項x ＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在 處的切線與經過（0，0）和（x ,f (x )）兩點的直線平行（如圖）求證：當n 時，

　　(Ⅰ)x

　　證明：（I）因為 所以曲線 在 處的切線斜率

　　因為過 和 兩點的直線斜率是 所以 .

　　（II）因為函數 當 時單調遞增，而

　　所以 ，即 因此

　　又因為 令 則

　　因為 所以

　　因此 故

　　點評：本題主要考查函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。

　　題型7：定積分

　　例13．計算下列定積分的值

　　（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；

　　解析：（1）

　　（2）因為 ，所以 ；

　　（3）

　　（4）

　　例14．（1）一物體按規律x＝bt3作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功。

　　（2）拋物線y=ax2＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求Smax．

　　解析：（1）物體的速度 。

　　媒質阻力 ，其中k為比例常數，k>0。

　　當x=0時，t=0；當x=a時， ，

　　又ds=vdt，故阻力所作的功為：

　　（2）依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x1=0，x2=－b/a，所以 (1)

　　又直線x＋y=4與拋物線y=ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點，

　　由方程組

　　得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)2＋16a=0．

　　于是 代入（1）式得：

　　令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點b=3，且當0＜b＜3時，S'(b)＞0；當b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且 。

　　點評：應用好定積分處理平面區域內的面積。

　　五．思維

　　1．本講內容在高考中以填空題和解答題為主

　　主要考查：

　　（1）函數的極限；

　　（2）導數在研究函數的性質及在解決實際問題中的應用；

　　（3）計算曲邊圖形的面積和旋轉體的體積。

　　2．考生應立足基礎知識和基本方法的復習，以本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標。

直線的位置關系教案6

　　教學目標：

　　1、初步理解垂直與平行是同一平面內兩直線的特殊位置關系，初步認識垂線和平行線。

　　2、在“演示操作驗證解釋應用”的過程中，發展學生的空間觀念，滲透猜想、與驗證的數學思想方法。

　　教學重點、難點：

　　正確理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念，發展學生的空間想象力。

　　教學過程：

　　一、平面內兩直線位置關系

　　1、操作：

　　請每位同學在一張紙上畫兩條直線，這兩條直線的位置關系會出現哪些情況？

　　2、分類：根據學生想象，出示下圖（網格）：

　　師：老師課前也繪制了這樣6幅圖，想一想，按兩條直線的不同位置關系，你可以分成哪幾類？說說你的分類依據。

　　3、討論交流，揭示平面內兩條直線的位置關系。

　　小結：

　　兩條直線，除了“相交”和“不相交”，還可能存在其他的位置關系嗎？

　　板書：

　　相交

　　兩條直線的位置關系

　　不相交

　　二、探究一：垂直

　　1、平面內兩直線相交構成的4個角的特點。

　　師：首先來研究平面內兩條直線“相交”這一情況。

　　師：平面內直線a和直線b相交與點O，已知1=60，誰能馬上求出2、3、4的度數？你是怎么想的？

　　2、平面內兩直線相交的.特殊情況。

　　提問：這4個角的度數有什么特點？固定點O，旋轉后，情況還是一樣嗎？

　　（旋轉至垂直）

　　師：現在兩條直線相交成直角了。繼續旋轉呢？

　　除了相交成直角以外，其余的情況，都是任意相交的。

　　板書： 任意相交

　　相交

　　平面內兩條直線的位置關系 相交成直角

　　不相交

　　3、練習：

　　下列圖形中哪兩條直線相交成直角。

　　○1 ○2 ○3

　　4、揭示概念。（媒體出示）

　　板書： 任意相交

　　相交

　　平面內兩條直線的位置關系 相交成直角 垂直

　　不相交

　　5、平面圖形中的垂直現象。

　　下面圖形中哪些角是直角？在圖上用直角記號標出。哪些線段互相垂直？用垂直符號表示。

　　○1 ○2 ○3

　　記作： 記作： 記作：

　　6、動手操作。

　　三、探究二：平行

　　1、提問：長方形中，如果把相對的兩條邊無限延長，是否會在某一點相交？

　　2、揭示概念

　　板書： 任意相交

　　相交

　　平面內兩條直線的位置關系 相交成直角 垂直

　　不相交 平行

　　3、平面圖中的平行現象

　　4、練習

　　（1）說說下列哪些直線互相垂直？哪些互相平行？

　　將圖2改為：

　　提問：e和f還平行嗎?

　　將圖2改為：

　　當角1等于角2時，e和f還平行嗎？

　　（2）滲透“同一”平面觀念

　　長方體中，這兩條棱相交嗎？那么他們平行嗎？

　　板書： 任意相交

　　相交

　　同一平面內兩條直線的位置關系 相交成直角 垂直

　　不相交 平行

　　四、生活中的平行與垂直

　　1、舉例：生活中，你有沒有發現“垂直與平行”的現象？

　　2、提問：為什么這些地方要設計成“垂直”或者“平行”？

　　五、課堂總結

直線的位置關系教案7

　　一、教學目標：

　　根據學生已有的認知的基礎及本課的教材的地位、作用，依據教學大綱的確定本課的教學目標為：

　　（1）知識目標：

　　a、知道直線和圓相交、相切、相離的定義。

　　b、根據定義來判斷直線和圓的位置關系，

　　會根據直線和圓相切的定義畫出已知圓的切線。

　　c、根據圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數量關系揭示直線和圓的位置。

　　2）能力目標：

　　讓學生通過觀察、看圖、列表、分析、對比，能找出圓心到直線的距離和圓的半徑之間的數量關系，揭示直線和圓的關系。此外，通過直線與圓的相對運動，培養學生運動變化的辨證唯物主義觀點，通過對研究過程的反思，進一步強化對分類和歸納的思想的認識。

　　3）情感目標：

　　在解決問題中，教師創設情境導入新課，以觀察素材入手,像一輪紅日從海平面升起的圖片，提出問題，讓學生結合學過的知識，把它們抽象出幾何圖形，再表示出來。讓學生感受到實際生活中，存在的直線和圓的三種位置關系，便于學生用運動的觀點觀察圓與直線的位置關系，有利于學生把實際的問題抽象成數學模型，也便于學生觀察直線和圓的公共點的變化。

　　二.教材的重點難點

　　直線和圓的三種位置關系是重點，本課的難點是直線和圓的三種位置關系的性質與判定的應用。

　　三.在教學中如何突破這個重點和難點

　　解決重點的方法主要是：（1）由學生觀察老師展示的一輪紅日從海平面升起的照片提出問題，能不能我們學過的知識把它們抽象出幾何圖形再展示出來（讓學生嘗試通過日出的情境畫出幾種情況），(2)把直線在圓的上下移動，引導學生用運動的觀點觀察直線和圓的位置關系，并讓他們發現直線與圓的公共點的個數，揭示直線和圓相交、相切、相離的定義，歸納直線和圓的三種位置關系。是什么？）。

　　在說直線與圓的位置關系時，如何突破這個難點：（1）突破直線和圓不能有兩個以上的公共點，讓學生討論，最后明確否定（因為直線和圓有三個或三個以上的公共點，那么這與不在同一條直線上的三點就可以作一個圓，相矛盾）。

　　(2)把直線在圓的上下移動，引導學生用運動的觀點觀察直線和圓的位置關系，并讓他們發現直線與圓的公共點的個數，揭示直線和圓相交、相切、相離的定義，歸納直線和圓的三種位置關系。

　　（3）突破直線和圓有唯一一個公共點是直線和圓相切（指直線與圓有一個并且只有一個公共點，它與有一個公共點的含義不同）。

　　（4）突破直線和圓的位置關系的（如果圓O的半徑為r，圓心到直線的距離為d，

　　1.直線l與圓 O相交<=> d

　　3.直線l與圓 O相離<=> d>r

　　式子的左邊反映是兩個圖形（直線和圓）的位置關系的性質，右邊是反映直線和圓的位置關系的判定。

　　四、教學程序

　　創設情境------導入新課------新授-------鞏固練習-----學生質疑------學生小結------布置作業

　　[提問] 通過觀察、演示，你知道直線和圓有幾種位置關系？

　　[討論] 一輪紅日從海平面升起的`照片

　　[新授] 給出相交、相切、相離的定義。

　　[類比] 復習點與圓的位置關系，討論它們的數量關系。通過類比，從而得出直線與圓的位置關系的性質定理及判定方法。

　　[鞏固練習] 例1，

　　出示例題

　　例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC= 4cm,以C為圓心，r為半徑的圓與AB有什么樣的位置關系？為什么？

　　（1）r=2cm； （2）r=2.4cm; (3)r=3cm

　　由學生填寫下例表格。

　　直線和圓的位置關系

　　公共點個數

　　圓心到直線距離d與半徑r關系

　　公共點名稱

　　直線名稱

　　圖形

　　補充練習的答案由師生一起歸納填寫

　　教學小結

　　直線與圓的位置關系，讓學生自己歸納本節課學習的內容，培養學生用數學語言歸納問題的能力。然后老師在多媒體打出圖表。

　　本節課主要采用了歸納、演繹、類比的思想方法，從現實生活中抽象出數學模型，體現了數學產生于生活的思想，并且將新舊知識進行了類比、轉化，充分發揮了學生的主觀能動性，體現了學生是學習的主體，真正成為學習的主人，轉變了角色。

直線的位置關系教案8

　　空間兩條直線的位置關系

　　總 課 題點、線、面之間的位置關系總課時第7課時

　　分 課 題空間兩條直線的位置關系分課時第1課時

　　目標了解空間中兩條直線的位置關系；理解并掌握公理 ；理解并掌握等角定理．

　　重點難點公理 及等角定理．

　　引入新課

　　1．問題1：在平面幾何中，兩直線的位置關系如何？

　　問題2：沒有公共點的直線一定平行嗎？

　　問題3：沒有公共點的兩直線一定在同一平面內嗎？

　　2．異面直線的概念：

　　________________________________________________________________________．

　　3．空間兩直線的位置關系有哪幾種？

　　位置關系共面情況公共點個數

　　4．公理4：（文字語言）____________________________________________________．

　　（符號語言）____________________________________________________．

　　5．等角定理：____________________________________________________________．

　　例題剖析

　　例1 如圖，在長方體 中，已知 分別是 的中點．

　　求證： ．

　　例2 已知： 和 的邊 ， ，并且方向相同．

　　求證： ．

　　例3 如圖：已知 分別為正方體 的棱 的中點．

　　求證： ．

　　鞏固練習

　　1．設 是正方體的一條棱，這個正方體中與 平行的棱共有（ ）條．

　　A． B． C． D．

　　2． 是 所在平面外一點， 分別是 和 的重心，若 ，

　　則 =____________________．

　　3．如果 ∥ ， ∥ ，那么∠ 與∠ 之間具有什么關系？

　　4．已知 不共面，且 ， ， ， .

　　求證： ≌ ．

　　課堂小結

　　了解空間中兩條直線的位置關系；理解并掌握公理 ；理解并掌握等角定理．

　　課后訓練

　　一 基礎題

　　1．若把兩條平行直線稱為一對，則在正方體 條棱中，相互平行的直線共有_______對．

　　2．已知 ∥ , ∥ ，∠ ，則∠ 等于_________________．

　　3．空間三條直線 ，若 ，則由直線 確定________個平面．

　　二 提高題

　　4．三棱錐 中， 分別是 的中點．

　　（1）求證：四邊形 是平行四邊形；

　　（2）若 ，求證：四邊形 是菱形；

　　（3）當 與 滿足什么條件時，四邊形 是正方形．

　　5．在正方體 中， ，求證： ∥ ．

　　三 能力題

　　6．已知 分別是空間四邊形四條邊 上的點．

　　且 ， 分別為 的中點，求證：四邊形 是梯形．

　　7．已知三棱錐 中， 是 的中點，

　　圓的一般方程

　　總 課 題圓與方程總課時第34課時

　　分 課 題圓的一般方程分課時第 2 課時

　　目標掌握圓的一般方程，會判斷二元二次方程 是否是圓的一般方程，能將圓的一般方程轉化為標準方程，從而寫出圓心坐標和圓的半徑．會用代定系數法求圓的一般方程.

　　重點難點會判斷二元二次方程 是否是圓的一般方程，能將圓的一般方程轉化為標準方程，從而寫出圓心坐標和圓的半徑．會用代定系數法求圓的一般方程.

　　引入新課

　　問題1．已知一個圓的圓心坐標為 ，半徑為 ，求圓的標準方程．

　　問題2．在半徑與圓心不能確定的情況下仍用圓的標準方程來解行不行？

　　如 的頂點坐標 ， ， ，求 外接圓方程．

　　這道題怎樣求？有幾種方法？

　　問題3．要求問題2也就意味著圓的方程還有其它形式？

　　1．圓的一般方程的推導過程．

　　2．若方程 表示圓的一般方程，有什么要求？

　　例題剖析

　　例1 已知 的頂點坐標 ， ， ，求 外接圓的方程．

　　變式訓練：已知 的頂點坐標 、 、 ，求 外接圓的方程．

　　例2 某圓拱梁的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度 ，拱高 ，每隔

　　需要一個支柱支撐，求支柱 的長（精確到 ）．

　　例3 已知方程 表示一個圓，求 的取值范圍．

　　變式訓練：若方程 表示一個圓，且該圓的圓心

　　位于第一象限，求實數 的取值范圍．

　　鞏固練習

　　1．下列方程各表示什么圖形？

　　（1） ；（2） ；

　　（3） ；（4） ；

　　（5） ．

　　2．如果方程 所表示的曲線關于直

　　線 對稱，那么必有（ ）

　　A． B． C． D．

　　3．求經過點 ， ， 的圓的方程．

　　課堂小結

　　圓的一般方程的推導及其條件；圓標準方程與一般方程的互化；用代定系數法求圓的一般方程．

　　課后訓練

　　一 基礎題

　　1．圓 的圓心坐標和半徑分別為 ．

　　2．若方程 表示的圖形是圓，則 的取值范圍是 ．

　　3．圓 的圓心坐標和半徑分別為 ．

　　4．若圓 的圓心在直線 上，

　　則 、 、 的關系有 ．

　　5．已知圓 的圓心是 ， 是坐標原點，則 ．

　　6．過點 且與已知圓 ： 的圓心相同的圓的方程

　　是 ．

　　7．若圓 關于直線 對稱，則 ．

　　8．過三 ， ， 的圓的方程是 ．

　　二 提高題

　　9．求過三點 ， ， 的圓的方程．

　　10．求圓 關于直線 對稱的圓的方程．

　　三 能力題

　　11．已知點 與兩個頂點 ， 的距離之比為 ，那么點 的坐標

　　滿足什么關系？畫出滿足條件的點 所形成的曲線．

　　用二分法求方程的近似解

　　3.1.2 用二分法求方程的近似解

　　學習目標

　　1. 根據具體函數圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解；

　　2. 通過用二分法求方程的近似解，使學生體會函數零點與方程根之間的聯系，初步形成用函數觀點處理問題的意識.

　　舊知提示 （預習教材P89~ P91，找出疑惑之處）

　　復習1：什么叫零點？零點的等價性？零點存在性定理？

　　對于函數 ，我們把使 的實數x叫做函數 的零點.

　　方程 有實數根 函數 的圖象與x軸 函數 .

　　如果函數 在區間 上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數 在區間 內有零點.

　　復習2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？

　　合作探究

　　探究：有12個小球，質量均勻，只有一個是比別的球重的，你用天平稱幾次可以找出這個球的`，要求次數越少越好.

　　解法：第一次，兩端各放 個球，低的那一端一定有重球；

　　第二次，兩端各放 個球，低的那一端一定有重球；

　　第三次，兩端各放 個球，如果平衡，剩下的就是重球，否則，低的就是重球.

　　思考：以上的方法其實這就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求 的零點所在區間？如何找出這個零點？

　　新知：二分法的思想及步驟

　　對于在區間 上連續不斷且<0的函數 ，通過不斷的把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法(bisection).

　　反思： 給定精度ε，用二分法求函數 的零點近似值的步驟如何呢？

　　①確定區間 ，驗證 ，給定精度ε；

　　②求區間 的中點 ；[高考資網]

　　③計算 ： 若 ，則 就是函數的零點； 若 ，則令 （此時零點 ）； 若 ，則令 （此時零點 ）；

　　④判斷是否達到精度ε；即若 ，則得到零點零點值a（或b）；否則重復步驟②~④．

　　典型例題

　　例1 借助計算器或計算機，利用二分法求方程 的近似解.

　　練1. 求方程 的解的個數及其大致所在區間.

　　練2.求函數 的一個正數零點（精確到 ）

　　零點所在區間中點函數值符號區間長度

　　練3. 用二分法求 的近似值.

　　堂小結

　　① 二分法的概念；②二分法步驟；③二分法思想.

　　知識拓展

　　高次多項式方程公式解的探索史料

　　在十六世紀，已找到了三次和四次函數的求根公式，但對于高于4次的函數，類似的努力卻一直沒有成功，到了十九世紀，根據阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認識到高于4次的代數方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運算及根號表示的一般的公式解．同時，即使對于3次和4次的代數方程，其公式解的表示也相當復雜，一般講并不適宜作具體計算．因此對于高次多項式函數及其它的一些函數，有必要尋求其零點近似解的方法，這是一個在計算數學中十分重要的題.

　　學習評價

　　1. 若函數 在區間 上為減函數，則 在 上（ ）.

　　A. 至少有一個零點 B. 只有一個零點

　　C. 沒有零點 D. 至多有一個零點

　　2. 下列函數圖象與 軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點近似值的是（ ）.

　　3. 函數 的零點所在區間為（ ）.

　　A. B. C. D.

　　4. 用二分法求方程 在區間[2，3]內的實根，由計算器可算得 ， ， ，那么下一個有根區間為 .

　　后作業

　　1．若函數f(x)是奇函數，且有三個零點x1、x2、x3，則x1＋x2＋x3的值為( )

　　A．－1 B．0 C．3 D．不確定

　　2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)f(b)<0，則f(x)＝0在[a，b]內( )

　　A．至少有一實數根 B．至多有一實數根

　　C．沒有實數根 D．有惟一實數根

　　3．設函數f(x)＝13x－lnx(x＞0)則y＝f(x)( )

　　A．在區間1e，1，(1，e)內均有零點 B．在區間1e，1， (1，e)內均無零點

　　C．在區間1e，1內有零點；在區間(1，e)內無零點[高考資網]

　　D．在區間1e，1內無零點，在區間(1，e)內有零點

　　4．函數f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區間是( )

　　A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)

　　5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的兩根均在(0，＋∞)內，則m的取值范圍是( )

　　A．m≤1 B．01 D．0

　　6．函數f(x)＝(x－1)ln(x－2)x－3的零點有( )

　　A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

　　7．函數y＝3x－1x2的一個零點是( )

　　A．－1 B．1 C．(－1,0) D．(1,0)

　　8．函數f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1,2)上零點的個數為( )

　　A．至多有一個 B．有一個或兩個 C．有且僅有一個 D．一個也沒有

　　9．根據表格中的數據，可以判定方程ex－x－2＝0的一個根所在的區間為( )

　　x－10123

　　ex0.3712.727.3920.09

　　A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)

　　10．求函數y＝x3－2x2－x＋2的零點，并畫出它的簡圖．

　　平面與平面垂直關系的判定

　　一、學習目標：

　　1.掌握直線與平面垂直的判定定理，并會應用。

　　2.通過定理的學習，培養和發展學生的空間想象能力，推理論證能力，運用圖形語言進行交流的能力，幾何直觀感知能力

　　二．重點知識（課前自學完成）

　　1.何謂直線與平面垂直（定義）：

　　在如圖所示的長方體中，有哪些棱所在的直線與面ADD1A1垂直：

　　2．直線與平面垂直的判定定理：

　　文字描述：

　　圖形呈現：

　　符號表示：

　　三 、知識應用

　　1.判斷下列命題的真假：（A級）

　　（1）如果直線和一個平面內的無數條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直；（ ）

　　（2）如果一條直線和一個平面內的任何直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直；（ ）

　　（3）在空間中，有三個角為直角的四邊形一定是矩形；( )

　　2.已知：如圖P為 ABC所在平面外一點，AP =AC, BP=BC, D為PC的中點，

　　求證：PC 平面ABD （B級）

　　3．如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，判斷直線B1C與平面ABC1D1的位置關系，并說明理由。（B級）

　　4如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體中，

　　求證：（1）AC 平面B1D1DB；

　　空間兩點間的距離

　　總 課 題空間直角坐標系總課時第38課時

　　分 課 題空間兩點間的距離分課時第 2 課時

　　目標通過具體到一般的過程，讓學生推導出空間兩點間的距離公式，通過類比方式得到兩點構成的線段的中點公式．

　　重點難點空間兩點間的距離公式的推導及其應用．

　　引入新課

　　問題1．平面直角坐標系中的許多公式能推廣到空間直角坐標系中去嗎？

　　問題2．平面直角坐標系中兩點間距離公式如何表示？

　　試猜想空間直角坐標系中兩點的距離公式．

　　問題3．平面直角坐標系中兩點 ， 的線段 的中點坐標是什么？

　　空間中兩點 ， 的線段 的中點坐標又是什么？

　　例題剖析

　　例1 求空間兩點 ， 間的距離 ．

　　例2 平面上到坐標原點的距離為 的點的軌跡是單位圓，其方程為 ．

　　在空間中，到坐標原點的距離為 的點的軌跡是什么？試寫出它的軌跡方程．

　　例3 證明以 ， ， 為頂點的 是等腰三角形．

　　例4 已知 ， ，求：

　　（1）線段 的中點和線段 長度；

　　（2）到 ， 兩點距離相等的點 的坐標滿足什么條件．

　　鞏固練習

　　1．已知空間中兩點 和 的距離為 ，求 的值．

　　2．試解釋方程 的幾何意義．

　　3．已知點 ，在 軸上求一點 ，使 ．

　　4．已知平行四邊形 的頂點 ， ， ．

　　求頂點 的坐標．

　　課堂小結

　　空間兩點間距離公式；空間兩點的中點的坐標公式．

　　課后訓練

　　一 基礎題

　　1．在空間直角坐標系中，已知 的頂點坐標分別是 ， ，

　　，則 的形狀是 ．

　　2．若 ， ， ，則 的中點 到點 的距離是 ．

　　3．點 與點 之間的距離是 ．

　　4．在 軸上有一點 ，它與點 之間的距離為 ，

　　則點 的坐標是 ．

　　二 提高題

　　5．已知：空間三點 ， ， ，

　　求證： ， ， 在同一條直線上．

　　6．（1）求點 關于 平面的對稱點的坐標；

　　（2）求點 關于坐標原點的對稱點的坐標；

　　（3）求點 關于點 的對稱點的坐標；

　　三 能力題

　　7．已知點 ， 的坐標分別為 ， ，

　　當 為何值時， 的值最小．最小值為多少？

　　8．在 平面內的直線 上確定一點 ，使 到點 的距離最小．

　　函數的概念與圖象

　　[自學目標]

　　1．體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，理解函數的概念；

　　2．了解構成函數的要素有定義域、值域與對應法則；

　　[知識要點]

　　1．函數的定義： ， .

　　2．函數概念的三要素：定義域、值域與對應法則.

　　3．函數的相等.

　　[預習自測]

　　例1．判斷下列對應是否為函數：

　　（1）

　　（2） 這里

　　補充：（1） ， ；

　　（2） ；

　　（3） ， ；

　　（4） ≤ ≤ ≤ ≤

　　分析：判斷是否為函數應從定義入手，其關鍵是是否為單值對應，單值對應的關鍵是元素對應的存在性和唯一性。

　　例2． 下列各圖中表示函數的是------------------------------------------[]

　　A B C D

　　例3． 在下列各組函數中， 與 表示同一函數的是------------------[ ]

　　A． =1， = B． 與

　　C． 與 D． = ， =

　　例4 已知函數 求 及

　　[課內練習]

　　1．下列圖象中表示函數y=f(x)關系的有--------------------------------( )

　　A.(1)(2)(4) B.(1)(2) C.(2)(3)(4) D.(1)(4)

　　2．下列四組函數中，表示同一函數的是----------------------------------( )

　　A． 和 B． 和

　　C． 和 D． 和

　　3．下列四個命題

　　（1）f(x)= 有意義;

　　（2） 表示的是含有 的代數式

　　（3）函數y=2x(x )的圖象是一直線；

　　（4）函數y= 的圖象是拋物線，其中正確的命題個數是（ ）

　　A．1 B．2 C．3 D．0

　　４．已知f(x)= ，則f( )= ；

　　5．已知f滿足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)= ， 那么 =

　　[歸納反思]

　　１．本課時的重點內容是函數的定義與函數記號 的意義，難點是函數概念的理解和正確應用；

　　２．判斷兩個函數是否是同一函數，是函數概念的一個重要應用，要能緊扣函數定義的三要素進行分析，從而正確地作出判斷．

　　[鞏固提高]

　　1．下列各圖中，可表示函數 的圖象的只可能是--------------------[ ]

　　A B C D

　　2．下列各項中表示同一函數的是-----------------------------------------[ ]

　　A． 與 B． = ， =

　　C． 與 D． 2 1與

　　3．若 ( 為常數)， =3，則 =------------------------[ ]

　　A． B．1C．2D．

　　4．設 ，則 等于--------------------------------[ ]

　　A． B． C． D．

　　5．已知 = ，則 = ， =

　　6．已知 = ， 且 ，則 的定義域是 ，

　　值域是

　　7．已知 = ，則

　　8．設 ，求 的值

　　對數函數的概念與圖象

　　一、內容與解析

　　(一）內容：對數函數的概念與圖象

　　（二）解析：本節課要學的內容是什么是對數函數，對數函數的圖象形狀及畫法,其核心是對數函數的圖象畫法,理解它關鍵就是要理解掌握對數函數的圖象特點.學生已經掌握了指數函數的圖象畫法及特點，函數圖象的一般畫法,本節課的內容就是在此基礎上的發展.由于它是研究對數函數性質的依據,是本學科的核心內容.的重點是對數函數的圖象特點與畫法,解決重點的關鍵是利用函數圖象的一般畫法畫出具體對數函數的圖象，從而歸納出對數函數的圖象特點，再根據圖象特點確定對數函數的一般畫法。

　　二、目標及解析

　　(一)教學目標:

　　1，理解對數函數的概念；掌握對數函數的圖象的特點及畫法。

　　2，通過具體實例，直觀感受對數函數模型所刻畫的數量關系；通過具體的函數圖象的畫法逐步認識對數函數的特征；

　　3，培養學生運用類比方法探索研究數學問題的素養，提高學生分析問題、解決問題的能力。

　　(二)解析:

　　1，理解對數函數的概念是來源于實踐的，能從函數概念的角度闡述其意義；掌握對數函數的圖象和性質，做到能畫草圖，能分析圖象，能從圖象觀察得出對數函數的單調性、值域、定點等；了解同底指數函數和對數函數互為反函數，能說出它們的圖象之間的關系，知道它們的定義域和值域之間的關系，了解反函數帶有逆運算的意味；

　　2，通過具體的實例，歸納得出一般的函數圖象特征，并能夠通過圖象特征得到相應的函數特征，培養學生的作圖、識圖的能力和歸納總結能力；

　　3，類比指數函數的圖象和性質的研究方法，來研究對數函數，讓學生認識到研究問題的方法上的一般性；同時，讓學生認識到類比這一數學思想，即對相似的問題可以借鑒之前問題的研究方法來研究，有助于提高學生分析問題、解決問題的能力。

　　三、問題診斷分析

　　本節課容易出現的問題是：對數函數的圖象特點的探究容易出現圖象不對、歸納不全、有所偏差等情形。出現這一問題的原因是：學生作圖能力、識圖能力、歸納能力不強。要解決這一問題，教師要通過讓學生類比指數函數圖象和性質的探究，時時回過頭看看之前是怎么做的，考慮了哪些問題，得到了哪些結論，讓學生類比自主探究，必要時給予適當引導，讓學生自主的得出結論，對于出錯的地方要讓學生討論，教師做出適當的評價并最終給出結論。

　　四、教學支持條件分析

　　在本節課()的教學中,準備使用(),因為使用(),有利于().

　　五、教學過程

　　問題1.前面我們已經掌握了指數函數的概念、圖象與性質，知道了指數函數是基本初等函數之一。現在學習的對數，也可以構成一種函數，我們稱之為對數函數，那么什么樣的函數稱為對數函數呢？

　　[設計意圖]新課標強調“考慮到多數高中生的認知特點，為了有助于他們對函數概念本質的理解，不妨從學生自己的生活經歷和實際問題入手”。因此，新課引入不是按舊教材從反函數出發，而是選擇從兩個材料引出對數函數的概念，讓學生熟悉它的知識背景，初步感受對數函數是刻畫現實世界的又一重要數學模型。這樣處理，對數函數顯得不抽象，學生容易接受，降低了新課教學的起點

　　小問題串

　　1.2.2.1的例6，考古學家是如何估算出土文物或古遺址的年代的？這種對應關系是否形成函數關系？

　　2. 某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個 ……，如果要求這種細胞經過多少次分裂，大約可以得到細胞1萬個，10萬個 ……。怎么求？相應的對應關系是否也形成函數關系？

　　3.由上述兩個實例，請你類比指數函數的概念歸納對數函數的概念

　　觀察這些函數的特征：含有對數符號，底數是常數，真數是變量，從而得出對數函數的定義：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．

　　注意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別．如： ， 都不是對數函數．○2 對數函數對底數的限制： ，且 ．

　　4. 根據對數函數定義填空；

　　例1 （1）函數 y=logax2的定義域是___________ (其中a>0,a≠1)

　　(2) 函數y=loga(4-x) 的定義域是___________ (其中a>0,a≠1)

　　說明：本例主要考察對數函數定義中底數和定義域的限制，加深對概念的理解，所以把教材中的解答題改為填空題，節省時間，點到為止，以避免挖深、拓展、引入復合函數的概念。

　　問題2.對數函數的圖象是什么樣？有什么特點呢？

　　[設計意圖]舊教材是通過對稱變換直接從指數函數的圖象得到對數函數圖象，這樣處理學生雖然會接受了這個事實，但對圖象的感覺是膚淺的；這樣處理也存在著函數教學忽視圖象、性質的認知過程而注重應用的“功利”思想。因此，本節課的設計注重引導學生用特殊到一般的方法探究對數函數圖象的形成過程，加深感性認識。同時，幫助學生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保探究的有效性。這個環節，還要借助計算機輔助教學作用，增強學生的直觀感受

　　小問題串

　　1. （1）用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象

　　（2）用描點法在同一坐標系中畫出下列對數函數的圖象

　　2. 觀察對數函數 、 與 、 的圖象特征 ，看看它們有那些異同點。

　　3. 利用計算器或計算機，選取底數 ，且 的若干個不同的值，在同一平面直角坐標系中作出相應對數函數的圖象。觀察圖象，它們有哪些共同特征？

　　4. 歸納出能體現對數函數的代表性圖象，并說明以后如何畫對數函數的簡圖。

　　例題

　　1.課本P75 A組第10題

　　2. 求函數 的定義域，并畫出函數的圖象。

　　六、目標檢測

　　求下列函數的定義域

　　（1） ；

　　（2） ；

直線的位置關系教案9

　　教學目標：

　　1、經歷觀察、操作、推理、交流等過程，進一步發展空間觀念、推理能力和有條理表達的能力。

　　2、在具體情景中了解補角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等，并能解決一些實際問題。

　　教學重點：

　　1、余角、補角、對頂角的概念

　　2、理解等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等。

　　教學難點：

　　理解等角的余角相等、等角的補角相等。判斷是否是對頂角。

　　教學方法：

　　觀察、探索、歸納總結。

　　準備活動：

　　在打桌球的.時候，如果是不能直接的把球打入袋中，那么應該怎么打才能保證球能入袋呢？

　　教學過程：

　　第一環節情境引入

　　活動內容：搜集生活中常見的圖片，讓學生從中找出相交線和平行線。

　　第二環節探索發現

　　內容一：觀察圖中各角與∠1之間的關系：

　　∠ADF+∠1=180

　　∠ADC+∠1=180

　　∠BDC+∠1=180

　　∠EDB+∠1=180

　　∠2=∠1

　　教學中要鼓勵學生自己去尋找，但是不要求學生說出圖中所有的角與∠1的關系。在對圖中角的關系的充分討論的基礎上，概括出互為余角和互為補角的概念。

　　提醒學生：互為余角、互為補角僅僅表明了兩個角之間的度量關系，并沒有對其位置關系作出限制。（為下面的對頂角的學習作鋪墊）

　　讓學生探索出“同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等”的結論。鼓勵學生用自己的語言表達，并說明理由。

　　內容二：

　　議一議：

　　（1）用剪刀剪東西的時候，哪對角同時變大或變小？

　　（2）如果將剪刀簡單的表示為右圖，那么∠1和∠2有什么位置關系？

　　（3）它們的大小有什么關系？能試著說明理由嗎？

　　由此引出對頂角的概念和“對頂角相等”的結論。

　　第三環節小診所

　　活動內容：判斷下列說法是否正確

　　1（1）300，700與800的和為平角，所以這三個角互余。（）

　　（2）一個角的余角必為銳角。（）

　　（3）一個角的補角必為鈍角。（）

　　（4）900的角為余角。（）

　　（5）兩角是否互補既與其大小有關又與其位置有關（）

　　2、你能舉出生活中包含對頂角的例子嗎？

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