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《一元二次方程的應用》教案

時間：2024-06-25 13:27:29 教案

《一元二次方程的應用》教案

　　作為一位不辭辛勞的人民教師，編寫教案是必不可少的，教案是實施教學的主要依據，有著至關重要的作用。那么你有了解過教案嗎？以下是小編為大家整理的《一元二次方程的應用》教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

《一元二次方程的應用》教案

《一元二次方程的應用》教案1

　　一、教材

　　1．教學內容：

　　本節課是北師大版九年級上第二章第五小節第一課時。內容是一元二次方程在幾何和實際生活中的應用。

　　2．本節課在教材中所處的地位和作用：

　　《一元二次方程》這一章是前面所學知識的繼續和發展，尤其是一元一次方程、二元一次方程（組）等內容的深入和發展，是方程知識的綜合運用。學好這部分知識，為九下學習一元二次函數知識打下扎實的基礎，是后繼學習的前提。而本節內容是一元二次方程的實際應用，是一元二次方程的最后部分。當然，盡管是最后一部分內容，但在本章的2～4節探索醫院二次方程解法的過程中已經涉及到了一些關于一元二次方程的應用題，因此學生對此并不陌生，已經積累了一定的經驗。

　　3．教學目標

　　（1）經歷分析具體問題中的數量關系，建立方程模型并解決問題的過程，認識方程模型的重要性，并總結運用方程解決實際問題的一般步驟。

　　（2）通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。

　　4．教材的重點：掌握運用方程解決實際問題的方法。

　　5．教材的難點：建立方程模型。

　　二、教法：

　　選取現實生活中的題材，調動興趣，探索、解決問題，講練結合。

　　三、學法：

　　通過閱讀細化問題、逐步解決問題

　　四、教學過程：

　　（一）導入新課，隱射教學目標

　　1．觀察圖片：古埃及胡夫金字塔，古希臘巴特農神廟，上海東方明珠電視塔，它們都是古今中外歷史上著名的建筑，在這些建筑的設計上都運用到了數學一個很奇妙的.知識——黃金分割。

　　2．釋疑：你想知道黃金分割中的黃金比是怎樣求出來的嗎？如圖,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果_______________那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比稱為黃金比（0.618）。黃金比為什么等于0.618 ？方程能幫助我們解決這個問題嗎？讓我們一起來做一做。解：由=，得AC2=AB·CB 設AB=1， AC=x ，則CB=1－x ，代入上式， x2=1×(1－x) 即：x2+x－1=0 解這個方程，得 x1= , x2=（不合題意，舍去）所以：黃金比=≈0.618

　　(二) 一元二次方程還能解決什么問題？例1：如圖,某海軍基地位于A處,在其正南方向200海里處有一目標B,在B的正東方向200海里處有一重要目標C.小島D位于AC的中點,島上有一補給碼頭;小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向。一艘軍艦沿A出發,經B到C勻速巡航,一艘補給船同時從D出發,沿南偏西方向勻速直線航行,欲將一批物品送達軍艦。（1）小島D和小島F相距多少海里？

　　（2）已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結果精確到0.1海里）『分析』（設置一些小問題）：

　　①你能在圖中找到表示小島F的點嗎？在本題中，實際要求的是什么？

　　②這是一個路程問題，路程=____________×___________。在本題中，從出發到相遇，軍艦、補給船的航線路線分別是圖中的哪些線段？兩艘船的時間、速度、路程已知嗎？兩艘船的時間、速度、路程各有什么關系？

　　③你能用含有一個未知數的代數式來表示軍艦和補給船各自的路程嗎？

　　④你能借助圖中的特殊圖形解決本題的兩個問題嗎？解：

　　（1）連接DF，則DF⊥BC， ∵AB⊥BC，AB=BC=200海里 ∴AC=AB=200海里，∠C=45° ∴CD=AC=100海里 DF=CF，DF=CD ∴DF=CF=CD=×100=100海里所以，小島D和小島F相距100海里。

　　（2）設相遇時補給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里 EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里在Rt△DEF中，根據勾股定理可得方程：x2=1002+(300－2x)2 整理得， 3x2－1200x+100000=0 解這個方程，得：x1=200－≈118.4 x2=200+(不合題意，舍去) 所以，相遇時，補給船大約航行了118.4 海里。這部分教學設計意圖：通過前面的學習，學生對一元二次方程在實際問題中的應用已經有了一定的了解，在本課的學習中，我們聯系實際選取例題，通過這個例題詳細展示了應用題的分析方法、解題過程，要求學生能用自己的語言歸納解題的一般步驟，從而培養學生的閱讀能力、建立方程模型解決實際問題的能力。

　　（三）練一練例2：如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點P,Q同時由A,B兩點出發,分別沿AC,BC方向向點C勻速移動,它們的速度都是1/s.幾秒后△PCQ的面積是Rt△ACB面積的一半? 『分析』（設置一些小問題）：

　　①本題同樣涉及的是行程問題，在本題中，時間、速度、路程這三個量哪些是已知的？哪些是未知的？通過假設未知數，你能將各未知量表示出來嗎？未知量和已知之間有什么關系？未知量與未知量之間有什么關系？

　　②點P、Q的路程在右圖中分別對應哪些線段？在右圖中你還能表示出哪些線段的長？問題中涉及的兩個三角形的面積分別該如何表示？解：設x秒后，△PCD的面積是RT△ABC的一半，由題意得：整理得：

　　6.答: 答案也必需是完事的語句。列方程解應用題的關鍵是：找等量關系，本題中找等量關系的方法是“圖示法”，常用的方法還有“列表法”等。

《一元二次方程的應用》教案2

　　一、素質教育目標

　　（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關系的應用題．

　　（二）能力訓練點：通過列方程解應用問題，進一步提高分析問題、解決問題的能力．

　　二、教學重點、難點

　　1．教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間的關系的應用題．

　　2．教學難點：根據數與數字關系找等量關系．

　　三、教學步驟

　　（一）明確目標

　　（二）整體感知：

　　（三）重點、難點的學習和目標完成過程

　　1．復習提問

　　（1）列方程解應用問題的步驟？

　　①審題，②設未知數，③列方程，④解方程，⑤答．

　　（2）兩個連續奇數的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；……（n表示整數）．

　　2．例1 兩個連續奇數的積是323，求這兩個數．

　　分析：（1）兩個連續奇數中較大的奇數與較小奇數之差為2，（2）設元（幾種設法）．設較小的奇數為x，則另一奇數為x+2，設較小的奇數為x-1，則另一奇數為x+1；設較小的'奇數為2x-1，則另一個奇數2x+1．

　　以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然后進行比較、鑒別，選出最簡單解法．

　　解法（一）

　　設較小奇數為x，另一個為x+2，

　　據題意，得x（x+2）=323．

　　整理后，得x2+2x-323=0．

　　解這個方程，得x1=17，x2=-19．

　　由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，

　　答：這兩個奇數是17，19或者-19，-17．

　　解法（二）

　　設較小的奇數為x-1，則較大的奇數為x+1．

　　據題意，得（x-1）（x+1）=323．

　　整理后，得x2=324．

　　解這個方程，得x1=18，x2=-18．

　　當x=18時，18-1=17，18+1=19．

　　當x=-18時，-18-1=-19，-18+1=-17．

　　答：兩個奇數分別為17，19；或者-19，-17．

　　解法（三）

　　設較小的奇數為2x-1，則另一個奇數為2x+1．

　　據題意，得（2x-1）（2x+1）=323．

　　整理后，得4x2= 324．

　　解得，2x=18，或2x=-18．

　　當2x=18時，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19．

　　當2x=-18時，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17

　　答：兩個奇數分別為17，19；-19，-17．

　　引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：

　　1．三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最后的結果嗎？

　　2．解題中的x出現了負值，為什么不舍去？

　　答：奇數、偶數是在整數范圍內討論，而整數包括正整數、零、負整數．3．選出三種方法中最簡單的一種．

　　練習

　　1．兩個連續整數的積是210，求這兩個數．

　　2．三個連續奇數的和是321，求這三個數．

　　3．已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數．

　　學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法．例2 有一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數．

　　分析：數與數字的關系是：

　　兩位數=十位數字×10+個位數字．

　　三位數=百位數字×100+十位數字×10+個位數字．

　　解：設個位數字為x，則十位數字為x-2，這個兩位數是10（x-2）+x．

　　據題意，得10（x-2）+x=3x（x-2），

　　整理，得3x2-17x+20=0，

　　當x=4時，x-2=2，10（x-2）+x=24．

　　答：這個兩位數是24．

　　練習1 有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數．（35，53）

　　2．一個兩位數，其兩位數字的差為5，把個位數字與十位數字調換后所得的數與原數之積為976，求這個兩位數．

　　教師引導，啟發，學生筆答，板書，評價，體會．

　　（四）總結，擴展

　　1奇數的表示方法為 2n+1，2n-1，……（n為整數）偶數的表示方法是2n（n是整數），連續奇數（偶數）中，較大的與較小的差為2，偶數、奇數可以是正數，也可以是負數．

　　數與數字的關系

　　兩位數=（十位數字×10）+個位數字．

　　三位數=（百位數字×100）+（十位數字×10）+個位數字．

　　……

　　2．通過本節課內容的比較、鑒別、分析、綜合，進一步提高分析問題、解決問題的能力，深刻體會方程的思想方法在解應用問題中的用途．

　　四、布置作業

　　教材P.42中A1、2、

《一元二次方程的應用》教案3

　　第一課時

　　一、教學目標

　　1．使學生會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關系的應用題。

　　2．通過列方程解應用問題，進一步體會提高分析問題、解決問題的能力。

　　3．通過列方程解應用問題，進一步體會代數中方程的思想方法解應用問題的優越性。

　　二、重點·難點·疑點及解決辦法

　　1．教學重點：會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間的關系的應用題。

　　2．教學難點：根據數與數字關系找等量關系。

　　3．教學疑點：學生對列一元二次方程解應用問題中檢驗步驟的理解。

　　4．解決辦法：列方程解應用題，就是先把實際問題抽象為數學問題，然后由數學問題的解決而獲得對實際問題的解決。列方程解應用題，最重要的是審題，審題是列方程的基礎，而列方程是解題的關鍵，只有在透徹理解題意的基礎上，才能恰當地設出未知數，準確找出已知量與未知量之間的等量關系，正確地列出方程。

　　三、教學過程

　　1．復習提問

　　（1）列方程解應用問題的步驟？

　　①審題，②設未知數，③列方程，④解方程，⑤答。

　　（2）兩個連續奇數的表示方法是，（n表示整數）

　　2．例題講解

　　例1 兩個連續奇數的積是323，求這兩個數。

　　分析：（1）兩個連續奇數中較大的奇數與較小奇數之差為2，（2）設元（幾種設法）a．設較小的奇數為x，則另一奇數為，b．設較小的奇數為，則另一奇數為；c．設較小的奇數為，則另一個奇數。

　　以上分析是在教師的引導下，學生回答，有三種設法，就有三種列法，找三位學生使用三種方法，然后進行比較、鑒別，選出最簡單解法。

　　解法（一）設較小奇數為x，另一個為，

　　據題意，得

　　整理后，得

　　解這個方程，得。

　　由得，由得，

　　答：這兩個奇數是17，19或者－19，－17。

　　解法（二）設較小的奇數為，則較大的.奇數為。

　　據題意，得

　　整理后，得

　　解這個方程，得。

　　當時，

　　當時，。

　　答：兩個奇數分別為17，19；或者－19，－17。

　　解法（三）設較小的奇數為，則另一個奇數為。

　　據題意，得

　　整理后，得

　　解得，，或。

　　當時，。

　　答：兩個奇數分別為17，19；－19，－17。

　　引導學生觀察、比較、分析解決下面三個問題：

　　1．三種不同的設元，列出三種不同的方程，得出不同的x值，影響最后的結果嗎？

　　2．解題中的x出現了負值，為什么不舍去？

　　答：奇數、偶數是在整數范圍內討論，而整數包括正整數、零、負整數。

　　3．選出三種方法中最簡單的一種。

　　練習1．兩個連續整數的積是210，求這兩個數。

　　2．三個連續奇數的和是321，求這三個數。

　　3．已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數。

　　學生板書，練習，回答，評價，深刻體會方程的思想方法。

　　例2 有一個兩位數等于其數字之積的3倍，其十位數字比個位數字小2，求這兩位數。

　　分析：數與數字的關系是：

　　兩位數十位數字個位數字。

　　三位數百位數字十位數字個位數字。

　　解：設個位數字為x，則十位數字為，這個兩位數是。

　　據題意，得，

　　整理，得，

　　解這個方程，得（不合題意，舍去）

　　當時，

　　答：這個兩位數是24。

　　以上分析，解答，教師引導，板書，學生回答，體會，評價。

　　注意：在求得解之后，要進行實際題意的檢驗。

　　練習1 有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求原來的兩位數。（35）

　　教師引導，啟發，學生筆答，板書，評價，體會。

　　四、布置作業

　　教材P42A 1、2

　　補充：一個兩位數，其兩位數字的差為5，把個位數字與十位數字調換后所得的數與原數之積為976，求這個兩位數。

　　五、板書設計

　　探究活動

　　將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣500個，已知該商品每漲價1元時，其銷售量就減少10個，為了賺8000元利潤，售價應定為多少，這時應進貨為多少個？

　　參考答案：

　　精析：此題屬于經營問題.設商品單價為（50+）元，則每個商品得利潤元，因每漲1元，其銷售量會減少10個，則每個漲價元，其銷售量會減少10個，故銷售量為（500）個，為賺得8000元利潤，則應有（500）.故有=8000

　　當時，50+=60，500=400

　　當時，50+=80，500=200

　　所以，要想賺8000元，若售價為60元，則進貨量應為400個，若售價為80元，則進貨量應為200個.

《一元二次方程的應用》教案4

　　一、素質教育目標

　　（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題．

　　（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養學生用數學的意識．

　　二、教學重點、難點

　　1．教學重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題．

　　2．教學難點：有關增長率之間的數量關系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴大，擴大到，擴大了．

　　三、教學步驟

　　（一）明確目標．

　　（二）整體感知

　　（三）重點、難點的學習和目標完成過程

　　1．復習提問

　　（1）原產量+增產量=實際產量．

　　（2）單位時間增產量=原產量×增長率．

　　（3）實際產量=原產量×（1+增長率）．

　　2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？

　　分析：設平均每月的增長率為x．

　　則2月份的產量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．

　　3月份的產量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]

　　=5000（1+x）2（噸）．

　　解：設平均每月的增長率為x，據題意得：

　　5000（1+x）2=7200

　　（1+x）2=1。44

　　1+x=±1。2．

　　x1=0。2，x2=-2。2（不合題意，舍去）．

　　取x=0。2=20％．

　　教師引導，點撥、板書，學生回答．

　　注意以下幾個問題：

　　（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為x．

　　（2）認真審題，弄清基數，增長了，增長到等詞語的關系．

　　（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．

　　練習1．教材P。42中5．

　　學生分析題意，板書，筆答，評價．

　　練習2．若設每年平均增長的百分數為x，分別列出下面幾個問題的方程．

　　（1）某工廠用二年時間把總產值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．

　　（1+x）2=b（把原來的總產值看作是1．）

　　（2）某工廠用兩年時間把總產值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分數．

　　（a（1+x）2=b）

　　（3）某工廠用兩年時間把總產值增加了原來的b倍，求每年增長的百分數．

　　（（1+x）2=b+1把原來的總產值看作是1．）

　　以上學生回答，教師點撥．引導學生總結下面的規律：

　　設某產量原來的產值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產值為a（1+x），增長兩次后的產值為a（1+x）2 ，…………增長n次后的產值為S=a（1+x）n．

　　規律的得出，使學生對此類問題能居高臨下，同時培養學生的探索精神和創造能力．

　　例2 某產品原來每件600元，由于連續兩次降價，現價為384元，如果兩個降價的百分數相同，求每次降價百分之幾？

　　分析：設每次降價為x．

　　第一次降價后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．

　　第二次降價后，每件為600（1-x）-600（1-x）x

　　=600（1-x）2（元）．

　　解：設每次降價為x，據題意得

　　600（1-x）2=384．

　　答：平均每次降價為20％．

　　教師引導學生分析完畢，學生板書，筆答，評價，對比，總結．

　　引導學生對比“增長”、“下降”的區別．如果設平均每次增長或下降為x，則產值a經過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．

　　（四）總結、擴展

　　1．善于將實際問題轉化為數學問題，嚴格審題，弄清各數據相互關系，正確布列方程．培養學生用數學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法．

　　2．在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．

　　3．我們只學習一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率．3年、4年……，n年，應該說按照規律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程．

　　四、布置作業

　　教材P。42中A8

　　五、板書設計

　　12。6 一元二次方程應用（三）

　　1．數量關系：例1……例2……

　　（1）原產量+增產量=實際產量分析：……分析……

　　（2）單位時間增產量=原產量×增長率解……解……

　　（3）實際產量=原產量（1+增長率）

　　2．最后產值、基數、平均增長率、時間

　　的基本關系：

　　M=m（1+x）n n為時間

　　M為最后產量，m為基數，x為平均增長率

　　12．6 一元二次方程的應用（三）

　　一、素質教育目標

　　（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題．

　　（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養學生用數學的意識．

　　二、教學重點、難點

　　1．教學重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題．

　　2．教學難點：有關增長率之間的數量關系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴大，擴大到，擴大了．

　　三、教學步驟

　　（一）明確目標．

　　（二）整體感知

　　（三）重點、難點的學習和目標完成過程

　　1．復習提問

　　（1）原產量+增產量=實際產量．

　　（2）單位時間增產量=原產量×增長率．

　　（3）實際產量=原產量×（1+增長率）．

　　2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？

　　分析：設平均每月的增長率為x．

　　則2月份的產量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．

　　3月份的產量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]

　　=5000（1+x）2（噸）．

　　解：設平均每月的增長率為x，據題意得：

　　5000（1+x）2=7200

　　（1+x）2=1。44

　　1+x=±1。2．