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定積分證明題方法總結

時間：2022-05-31 09:34:21 證明

定積分證明題方法總結

　　總結是把一定階段內的有關情況分析研究，做出有指導性的經驗方法以及結論的書面材料，它能使我們及時找出錯誤并改正，不如立即行動起來寫一份總結吧。但是總結有什么要求呢？以下是小編整理的定積分證明題方法總結，僅供參考，大家一起來看看吧。

定積分證明題方法總結

定積分證明題方法總結1

　　摘要:結合實例分析介紹了不定積分的四種基本計算方法。為使學生熟練掌握,靈活運用積分方法,本文將高等數學中計算不定積分的常用方法,簡單進行了整理歸類。

　　關鍵詞:積分方法第一類換元法第二類換元法分部積分法不定積分是高等數學中積分學的基礎,對不定積分的理解與掌握的好壞直接影響到該課程的學習和掌握。熟練掌握不定積分的理論與運算方法,不但能使學生進一步鞏固前面所學的導數與微分的知識,而且也將為學習定積分,微分方程等相關知識打好基礎。在高等數學中,函數的概念與定義與初等數學相比發生了很多的變化,從有限到無限,從確定到不確定,計算結果也可能不唯一,但計算方法與計算技巧顯得更加重要。這些都在不定積分的計算中體會的淋漓盡致。對不定積分的求解方法進行簡單的歸類,不但使其計算方法條理清楚,而且有助于對不定積分概念的理解,提高學習興趣,對學好積分具有一定的促進作用。

　　1 直接積分法

　　直接積分法就是利用不定積分的定義,公式與積分基本性質求不定積分的方法。直接積分法重要的是把被積函數通過代數或三角恒等式變形,變為積分表中能直接計算的'公式,利用積分運算法則,在逐項積分。

　　一、原函數與不定積分的概念

　　定義1.設f(x)是定義在某區間的已知函數，若存在函數F(x)，使得F(x)或dF

　　f(x)

　　(x)f(x)dx

　　,則稱F(x)為f(x)的一個原函數

　　定義2.函數

　　f(x)的全體原函數F(x)C叫做f(x)的不定積分，，記為:

　　f(x)dxF(x)C

　　f(x)叫做被積函數 f(x)dx叫做被積表達式C叫做積分常數

　　“

　　其中

　　”叫做積分號

　　二、不定積分的性質和基本積分公式

　　性質1. 不定積分的導數等于被積函數，不定積分的微分等于被積表達式，即

　　f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.

　　性質2. 函數的導數或微分的不定積分等于該函數加上一個任意函數，即

　　f(x)dxf(x)C,

　　或df(x)f(x)C

　　性質3. 非零的常數因子可以由積分號內提出來，即

　　kf(x)dxkf(x)dx

　　(k0).

　　性質4. 兩個函數的代數和的不定積分等于每個函數不定積分的代數和，即

　　f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

　　基本積分公式

　　(1)kdxkxC(k為常數)

　　(2)xdx

　　(1)

　　(3)xlnxC

　　(4)exdxexC

　　(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)

　　11x

　　(5)a

　　lna

　　(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC

　　(11)

　　cscxcotxdxcscxC

　　(13)cscxdxlncscxcotxC (15)

　　xarctanxC

　　xarcsinxC

　　三、換元積分法和分部積分法

　　定理1. 設(x)可導，并且f(u)duF(u)C. 則有

　　f[(x)](x)dxF(u)C

　　湊微分

　　f[(x)]d(x)

　　令u(x)

　　f(u)du

　　代回u(x)

　　F((x))C

　　該方法叫第一換元積分法(integration by substitution)，也稱湊微分法．定理2.設x數F

　　(t)是可微函數且(t)0，若f((t))(t)具有原函

　　(t)，則

　　xt換元

　　fxdx

　　fttdt

　　積分

　　FtC

　　回代

　　FxC.

　　該方法叫第二換元積分法

定積分證明題方法總結2

　　一、不定積分計算方法

　　1.湊微分法

　　2.裂項法

　　3.變量代換法

　　1)三角代換

　　2)根冪代換

　　3)倒代換

　　4.配方后積分

　　5.有理化

　　6.和差化積法

　　7.分部積分法（反、對、冪、指、三）

　　8.降冪法

　　二、定積分的計算方法

　　1.利用函數奇偶性

　　2.利用函數周期性

　　3. 參考不定積分計算方法

　　三、定積分與極限

　　1.積和式極限

　　2.利用積分中值定理或微分中值定理求極限

　　3.洛必達法則

　　4.等價無窮小

　　四、定積分的估值及其不等式的應用

　　1.不計算積分，比較積分值的大小

　　1)比較定理：若在同一區間[a,b]上，總有

　　f(x)>=g(x),則>= ()dx

　　2)利用被積函數所滿足的不等式比較之a)

　　b)當0

　　2.估計具體函數定積分的值

　　積分估值定理：設f(x)在[a,b]上連續，且其最大值為M，最小值為m則

　　M(b-a)<= <=M(b-a)

　　3.具體函數的定積分不等式證法

　　1)積分估值定理

　　2)放縮法

　　3)柯西積分不等式

　　≤ %

　　4.抽象函數的定積分不等式的`證法

　　1)拉格朗日中值定理和導數的有界性

　　2)積分中值定理

　　3)常數變易法

　　4)利用泰勒公式展開法

　　五、變限積分的導數方法

　　1、經驗總結

　　(1)定積分的定義：分割—近似代替—求和—取極限

　　(2)定積分幾何意義：

　　①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積ab

　　②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)與x軸，x=a,x=b所圍成曲邊梯形的面積的相a

　　反數

　　(3)定積分的基本性質：

　　①kf(x)dx=kf(x)dx aabb

　　②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa

　　③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac

　　(4)求定積分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb

　　①定義法：分割—近似代替—求和—取極限②利用定積分幾何意義

　　’③微積分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba

定積分證明題方法總結3

　　一、不定積分的概念和性質

　　若F(x)f(x)，則f(x)dxF(x)C， C為積分常數不可丟！

　　性質1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或

　　df(x)dxf(x) dx

　　性質2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

　　性質3[f(x)g(x)]dx

　　或[f(x)g(x)]dx

　　二、基本積分公式或直接積分法

　　基本積分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx

　　kdxkxC

　　xxdx1x1C(為常數且1)1xdxlnxC ax

　　edxeCadxlnaC xx

　　cosxdxsinxCsinxdxcosxC

　　dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC

　　secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC

　　dxarctanxCarccotx

　　C（）1x2arcsinxC（arccosxC）

　　直接積分法：對被積函數作代數變形或三角變形，化成能直接套用基本積分公式。代數變形主要是指因式分解、加減拆并等；三角變形主要是指三角恒等式。

　　三、換元積分法：

　　1.第一類換元法（湊微分法）

　　g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)

　　注 (1)常見湊微分：

　　u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).

　　111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|

　　c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2

　　(2)適用于被積函數為兩個函數相乘的情況：

　　若被積函數為一個函數，比如：e2xdxe2x1dx，若被積函數多于兩個，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成兩類；

　　(3)一般選擇“簡單”“熟悉”的那個函數寫成(x)；

　　(4)若被積函數為三角函數偶次方，降次；奇次方，拆項；

　　2.第二類換元法

　　f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代換類型:

　　(1) 對被積函數直接去根號;

　　(2) 到代換x1; t

　　(3) 三角代換去根號

　　atantxasect、

　　xasint(orxacost)

　　f(xdx，t

　　f(xx，x

　　asect

　　f(xx，xasint

　　f(xx，xatant f(ax)dx，ta

　　f(xx，t

　　三、分部積分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.

　　注 (1)u的`選取原則：按“ 反對冪三指” 的順序，誰在前誰為u，后面的為v;

　　(2)uvdx要比uvdx容易計算；

　　(3)適用于兩個異名函數相乘的情況，若被積函數只有一個，比如：

　　arcsinx1dx，

　　(4)多次使用分部積分法： uu求導 vv積分（t；

定積分證明題方法總結4

　　1、原函數存在定理

　　●定理如果函數f(x)在區間I上連續，那么在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡單的說連續函數一定有原函數。

　　●分部積分法

　　如果被積函數是冪函數和正余弦或冪函數和指數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數和指數函數為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為u。

　　2、對于初等函數來說，在其定義區間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是初等函數。

　　定積分

　　1、定積分解決的典型問題

　　(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程

　　2、函數可積的充分條件

　　●定理設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在區間[a,b]上可積，即連續=>可積。

　　●定理設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間[a,b]上可積。

　　3、定積分的'若干重要性質

　　●性質如果在區間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

　　●推論如果在區間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

　　●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

　　●性質設M及m分別是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質說明由被積函數在積分區間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。

　　●性質(定積分中值定理)如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少存在一個點，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。

　　4、關于廣義積分

　　設函數f(x)在區間[a,b]上除點c(a

　　定積分的應用

　　1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

　　●直角坐標系下(含參數與不含參數)

　　●極坐標系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)

　　●旋轉體體積(由連續曲線、直線及坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)

　　●平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)

　　●功、水壓力、引力

　　●函數的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

定積分證明題方法總結5

　　一、原函數

　　定義1 如果對任一xI，都有

　　F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx

　　則稱F(x)為f(x)在區間I 上的原函數。

　　例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函數。 [ln(xx2)

　　原函數存在定理：如果函數f(x)在區間I 上連續，則f(x)在區間I 上一定有原函數，即存在區間I 上的可導函數F(x)，使得對任一xI，有F(x)f(x)。

　　注1：如果f(x)有一個原函數，則f(x)就有無窮多個原函數。

　　設F(x)是f(x)的原函數，則[F(x)C]f(x)，即F(x)C也為f(x)的原函數，其中C為任意常數。

　　注2：如果F(x)與G(x)都為f(x)在區間I 上的原函數，則F(x)與G(x)之差為常數，即F(x)G(x)C（C為常數）

　　注3：如果F(x)為f(x)在區間I 上的一個原函數，則F(x)C（C為任意常數）可表達f(x)的任意一個原函數。

　　1x2，即ln(xx2)是1x2的原函數。

　　二、不定積分

　　定義2 在區間I上，f(x)的帶有任意常數項的原函數，成為f(x)在區間I上的'不定積分，記為f(x)dx。

　　如果F(x)為f(x)的一個原函數，則

　　f(x)dxF(x)C，（C為任意常數）

　　三、不定積分的幾何意義

　　圖 5—1 設F(x)是f(x)的一個原函數，則yF(x)在平面上表示一條曲線，稱它為f(x)f(x)的不定積分表示一族積分曲線，它們是由f(x)的某一條積分曲線沿著y軸方向作任意平行移動而產生的所有積分曲線組成的．顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標x的點處有互相平行的切線，其斜率都等于f(x)．

　　在求原函數的具體問題中，往往先求出原函數的一般表達式yF(x)C，再從中確定一個滿足條件 y(x0)y0 (稱為初始條件)的原函數yy(x)．從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過點(x0,y0)的積分曲線．

　　四、不定積分的性質（線性性質）

　　[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

　　k為非零常數） kf(x)dxkf(x)dx（

　　五、基本積分表

　　∫ a dx = ax + C，a和C都是常數

　　∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a為常數且 a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C

　　∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

　　∫ e^x dx = e^x + C

　　∫ cosx dx = sinx + C

　　∫ sinx dx = - cosx + C

　　∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

　　∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

　　∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C

　　= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C

　　= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

　　∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C

　　= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C

　　= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C

　　∫ sec^2(x) dx = tanx + C

　　∫ csc^2(x) dx = - cotx + C

　　∫ secxtanx dx = secx + C

　　∫ cscxcotx dx = - cscx + C

　　∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C

　　∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C

　　∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C

　　∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C

　　∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C

　　六、第一換元法（湊微分）

　　設F(u)為f(u)的原函數，即F(u)f(u) 或 f(u)duF(u)C 如果 u(x)，且(x)可微，則 dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x) dx

　　即F[(x)]為f[(x)](x)的原函數，或

　　f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有

　　定理1 設F(u)為f(u)的原函數，u(x)可微，則

　　f[(x)](x)dx[f(u)du]

　　公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。 u(x)u(x) (2-1)

　　f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)

　　1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb

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