因式分解的步驟

　　基本概念

　　定義

　　把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。

　　因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用，是解決許多數學問題的有力工具。

　　因式分解方法靈活，技巧性強。學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養解題技能、發展思維能力都有著十分獨特的作用。學習它，既可以復習整式的四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力，又可以提高綜合分析和解決問題的能力。

　　相關結論

　　基本結論：分解因式與整式乘法為相反。

　　高級結論：在高等數學上因式分解有一些重要結論，在初等數學層面上證明很困難，但是理解很容易。

　　1）因式分解與解高次方程有密切的關系。對于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過于復雜，在非專業領域沒有介紹。對于分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較復雜。對于五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。

　　2）所有的三次和三次以上的一元多項式在實數范圍內都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項式在復數范圍內都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如x+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系數法將其分解，只是分解出來的式子并不整潔。(這是因為，由代數基本定理可知n次一元多項式總是有n個根，也就是說，n次一元多項式總是可以分解為n個一次因式的乘積。并且還有一條定理：實系數多項式的虛數根兩兩共軛的，將每對共軛的虛數根對應的一次因式相乘，可以得到二次的實系數因式，從而這條結論也就成立了。)

　　3）因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對于中學生來說難度頗高，但是中學有時候要處理的多項式次數并不太高，所以反復利用多項式的除法也可以但比較笨，不過能有效地解決找公因式的問題。

　　4）因式分解是很困難的，初中所接觸的只是因式分解很簡單的一部分。

　　分解一般步驟

　　1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

　　這里的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項系數是正的。

　　2、如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；

　　要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，并使每一個括號內的多項式都不能再分解。

　　3、如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

　　4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

　　口訣：先提首項負號，再看有無公因式，后看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

　　原則

　　1、分解因式是多項式的恒等變形，要求等式左邊必須是多項式。

　　2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。

　　3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低于原來多項式的次數。

　　4、結果最后只留下小括號，分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止；

　　5、結果的多項式首項一般為正。在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，然后再抽出公因子；

　　6、括號內的首項系數一般為正；

　　7、如有單項式和多項式相乘，應把單項式提到多項式前。如(b+c)a要寫成a(b+c)；

　　8、考試時在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了，有說明實數的話，一般就要化到實數。

　　口訣：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”。

　　分解方法

　　因式分解主要有十字相乘法，待定系數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。